Giới thiệu về edusmartpro

Tính cạnh và diện tích hình vuông dựa vào chu vi.

Tìm diện tích hình chữ nhật từ diện tích hình vuông.

Lập hệ phương trình tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật từ chu vi và diện tích.

Giải

Gọi $x$ là chiều dài hình chữ nhật.

Chiều rộng hình chữ nhật là $\dfrac{24}{2}-x=12-x$.

Điều kiện: $x{>}12-x\Leftrightarrow x{>}6$.

Diện tích hình vuông là ${{\left( \dfrac{24}{4} \right)}^{2}}=36$.

Diện tích hình chữ nhật là $36-4=32$.

Ta có phương trình $x\left( 12-x \right)=32\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+12x-32=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}

x=8\left( N \right) \\

x=4\left( L \right) \\

\end{array} \right.$

Chiều rộng hình chữ nhật là $8-4=4$.

Vậy hiệu giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là $8-4=4$.

Câu 62: (ID: 253465 )

Cho phương trình $\sqrt{-{{x}^{2}}+mx}=2x-1$ với $m$ là tham số thực. Tập hợp tất cả giá trị của $m$ để phương trình trên vô nghiệm là:

A. $\left( \dfrac{1}{2};\infty \right)$.

B. $\left( \dfrac{1}{2};2 \right)$.

C. $\left( -\infty ;\dfrac{1}{2} \right)$.

D. $\left( -\infty ;2 \right)$.

Đáp án: C

Lời giải: của GV VEAgroup

Lập bảng biến thiên để khảo sát hàm số và sự tương giao đồ thị.

Giải

$\sqrt{-{{x}^{2}}+mx}=2x-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

2x-1\ge 0 \\

-{{x}^{2}}+mx=4{{x}^{2}}-4x+1 \\

\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

x\ge \dfrac{1}{2} \\

5x+\dfrac{1}{x}-4=m \\

\end{array} \right.$ Xét hàm số $f\left( x \right)=5x+\dfrac{1}{x}-4$ trên $\left[ \dfrac{1}{2};+\infty \right]$.

${f}'\left( x \right)=5-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$.

${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 5-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}

x=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\left( L \right) \\

x=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\left( L \right) \\

\end{array} \right.$

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận phương trình vô nghiệm thì $m{<}\dfrac{1}{2}$

Câu 63: (ID: 253466 )

Anh Hùng muốn gửi tiết kiệm để sau 3 năm có 800 triệu đồng mua xe. Biết lãi suất hàng tháng là $0,6%$, tiền lãi sinh ra hàng tháng được nhập vào tiền vốn, số tiền gửi hàng tháng là như nhau. Anh Hùng phải gửi ngân hàng mỗi tháng số tiền gần nhất với số tiền nào sau đây:

A. 19.785.000 đồng.

B. 19.895.000 đồng.

C. 19.975.000 đồng.

D. 19.665.000 đồng.

Đáp án: B

Lời giải: của GV VEAgroup

Công thức gửi tiền định kỳ hàng tháng (đầu mỗi tháng): $T=A\cdot \dfrac{\left( 1+r \right)\left[ {{(1+r)}^{n}}-1 \right]}{r}$.

Giải

3 năm $=36$ tháng, $T=800.000.000,r=0,006,n=36$

Ta có

$800.000.000=A\cdot \dfrac{\left( 1,006 \right)\left[ {{(1,006)}^{36}}-1 \right]}{0,006}$ $800.000.000\approx A\cdot \dfrac{1,006.\left( 1,2403-1 \right)}{0,006}\approx A.40,29$ $\Rightarrow A\approx \dfrac{800.000.000}{40,29}\approx 19.855.895$ đồng.

Giá trị này gần nhất với số tiền 19.895.000 đồng.

Câu 64: (ID: 253467 )

Cho $a=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}5,b=\text{lo}{{\text{g}}_{5}}3$. Biết $\text{lo}{{\text{g}}_{24}}15=\dfrac{ma+ab}{n+ab}$ với m, n là các số nguyên. Giá trị $S={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$ là:

A. 2

B. 5

C. 13

D. 10

Đáp án: D

Lời giải: của GV VEAgroup

Sử dụng công thức đổi cơ số để đưa các logarit về cùng cơ số 2.

Đồng nhất hệ số để tìm $m$ và $n$.

Giải

Ta có $a=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}5$ và $ab=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}5\cdot \text{lo}{{\text{g}}_{5}}3=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}3$

$\text{lo}{{\text{g}}_{24}}15=\dfrac{\text{lo}{{\text{g}}_{2}}15}{\text{lo}{{\text{g}}_{2}}24}=\dfrac{\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( 3.5 \right)}{\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( {{2}^{3}}.3 \right)}=\dfrac{\text{lo}{{\text{g}}_{2}}3+\text{lo}{{\text{g}}_{2}}5}{3+\text{lo}{{\text{g}}_{2}}3}$ Thay các giá trị $a$ và ab vào: $\text{lo}{{\text{g}}_{24}}15=\dfrac{ab+a}{3+ab}=\dfrac{ma+ab}{n+ab}$

Suy ra $m=1$ và $n=3$.

Vậy $S={{1}^{2}}+{{3}^{2}}=10$.

Câu 65: (ID: 253468 )

Có 6 thị trấn $\text{A},\text{B},\text{C},\text{D},\text{E}$ và F được kết nối với nhau bởi một số tuyến đường. Độ dài tính bằng kilômét của các tuyến đường kết nối giữa các thị trấn được cho kèm theo bảng sau.

	A	B	C	D	E	F
A	0	1	0	8	4	1
B	1	0	2	0	0	0
C	0	2	0	3	0	0
D	8	0	3	0	5	0
E	4	0	0	5	0	1
F	1	0	0	0	1	0

Tổng số tuyến đường kết nối các thị trấn với nhau là:

A. 8

B. 6

C. 10

D. 9

Đáp án: A

Lời giải: của GV VEAgroup

Đại số tổ hợp.

Giải

Có $C_{6}^{2}=15$ cách chọn ra hai thị trấn từ 6 thị trấn nói trên. Tuy nhiên, có 7 cặp thị trấn là $\left( A;C \right);\left( B;D \right);\left( B;E \right);\left( B;F \right);\left( C;E \right);\left( C;F \right)$ và $\left( D;F \right)$ không có tuyến đường kết nối (độ dài tuyến đường kết nối bằng 0 ). Vậy số tuyến đường kết nối các thị trấn với nhau là $15-7=8$.

Câu 66: (ID: 253473 )

Một công ty viễn thông đang lên kế hoạch mở rộng mạng lưới dịch vụ của mình tại một khu vực gồm sáu thị trấn: $A,B,C,D$ và $F$. Để cung cấp dịch vụ internet và điện thoại đến từng thị trấn, công ty cần phải kéo cáp ngầm nối các thị trấn với nhau. Mỗi đoạn cáp nối hai thị trấn có một chi phí nhất định, tùy thuộc vào khoảng cách địa lý và điều kiện địa hình. Sơ đồ dưới đây thể hiện các tuyến cáp có thể xây dựng, cùng với chi phí đi kèm (tính bằng nghìn đô la) cho từng tuyến.

Chi phí tối thiểu (nghìn đô la) mà công ty phải bỏ ra để xây dựng hệ thống cáp sao cho tất cả sáu thị trấn đều được kết nối với nhau là:

A. 780

B. 820

C. 760

D. 800

Đáp án: A

Lời giải: của GV VEAgroup

Giải

Dựa vào chi phí trên từng tuyến, ta thấy công ty cần xây dựng hệ thống cáp: $A-C-D-\left( F \right)-B-E$ thì chi phí sẽ nhỏ nhất. Chi phí tối thiểu (nghìn đô la) mà công ty phải bỏ ra để xây dựng hệ thống cáp sao cho tất cả sáu thị trấn đều được kết nối với nhau là

$140+260+100+120+160=780.$

Câu 67: (ID: 253474 )

Tập nghiệm của phương trình $\text{cos}2x+3\text{sin}x-2=0$ là:

A. $S=\left\{ \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{\pi }{6}+k2\pi ;\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.

B. $S=\left\{ \dfrac{\pi }{6}+k2\pi ;\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.

C. $S=\left\{ \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{\pi }{3}+k2\pi ;\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.

D. $S=\left\{ \dfrac{\pi }{3}+k2\pi ;\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.

Đáp án: A

Lời giải: của GV VEAgroup

Sử dụng công thức $\text{cos}2x=1-2\text{si}{{\text{n}}^{2}}x$.

Đưa về phương trình bậc hai theo $\text{sin}x$.

Giải

$\text{cos}2x+3\text{sin}x-2=0$ $\Leftrightarrow \left( 1-2\text{si}{{\text{n}}^{2}}x \right)+3\text{sin}x-2=0$ $\Leftrightarrow -2\text{si}{{\text{n}}^{2}}x+3\text{sin}x-1=0$ Đặt $t=\text{sin}x\left( -1\le t\le 1 \right)$, ta có $-2{{t}^{2}}+3t-1=0\Leftrightarrow [\begin{array}{*{35}{l}}

t=1\left( \text{tm} \right) \\

t=\dfrac{1}{2}\left( \text{tm} \right) \\

\end{array}$

Với $\text{sin}x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi$

Với $\text{sin}x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow [\begin{array}{*{35}{l}}

x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\

x=\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi \\

\end{array}$

Câu 68: (ID: 253475 )

Cho tam giác $ABC$ có $a,b,c$ lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh $A,B,C$. Biết $b\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)=c\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right)$, khi đó số đo của góc A bằng:

A. ${{30}^{\circ }}$

B. ${{45}^{\circ }}$

C. ${{60}^{\circ }}$

D. ${{120}^{\circ }}$

Đáp án: C

Lời giải: của GV VEAgroup

Biến đổi đẳng thức đã cho để rút gọn về mối liên hệ giữa các cạnh.

Sử dụng định lý cosin để tìm góc

Giải

Ta có:

$b\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)=c\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{b}^{3}}-b{{a}^{2}}=c{{a}^{2}}-{{c}^{3}}$ $\Leftrightarrow {{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{a}^{2}}\left( b+c \right)$ $\Leftrightarrow \left( b+c \right)\left( {{b}^{2}}-bc+{{c}^{2}} \right)={{a}^{2}}\left( b+c \right)$ Vì $b+c{>}0$ nên ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-bc$

Theo định lý cosin: ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cdot \text{cos}A$

$\Rightarrow 2bc\cdot \text{cos}A=bc\Leftrightarrow \text{cos}A=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A={{60}^{\circ }}$

Câu 69: (ID: 253476 )

Cho hàm số $\left\{ f\left( x \right)=\{\begin{matrix}

\dfrac{{{x}^{2}}-4}{x-2}, x\ne 2 \\

m+1, x=2 \\

\end{matrix} \right.$ với $m$ là tham số thực. Giá trị của $m$ để hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=2$ là:

A. $m=3$.

B. $m=2$.

C. $m=4$.

D. $m=1$.

Đáp án: $\mathbf{A}$

Lời giải: của GV VEAgroup

Hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=2$ khi $\text{li}{{\text{m}}_{x\to 2}}f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$.

Giải

Ta có $f\left( 2 \right)=m+1$

$\text{li}{{\text{m}}_{x\to 2}}\dfrac{{{x}^{2}}-4}{x-2}=\text{li}{{\text{m}}_{x\to 2}}\dfrac{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}{x-2}=\text{li}{{\text{m}}_{x\to 2}}\left( x+2 \right)=4$ Hàm số liên tục tại $x=2$ khi $m+1=4\Rightarrow m=3$.

Câu 70: (ID: 253477 )

Cho hàm số $y=x\cdot {{e}^{x}}$. Tập nghiệm của bất phương trình ${y}''-{y}'-y{>}0$ là:

A. $\left( -1;+\infty \right)$.

B. $\left( -\infty ;1 \right)$.

C. $\left( 1;+\infty \right)$.

D. $\left( -\infty ;-1 \right)$.

Lời giải: của GV VEAgroup

Tính ${y}'$ và ${y}''$.

Thay vào bất phương trình và giải bất phương trình chứa hàm mũ.

Giải

Có $y=x\cdot {{e}^{x}}$.

${y}'={{e}^{x}}+x.{{e}^{x}}=\left( x+1 \right){{e}^{x}}$.

${y}''={{e}^{x}}+\left( x+1 \right){{e}^{x}}=\left( x+2 \right){{e}^{x}}$.

Bất phương trình ${y}''-{y}'-y{>}0$

$\Leftrightarrow \left( x+2 \right){{e}^{x}}-\left( x+1 \right){{e}^{x}}-x{{e}^{x}}{>}0\Leftrightarrow {{e}^{x}}\left( x+2-x-1-x \right){>}0$ $\Leftrightarrow {{e}^{x}}\left( 1-x \right){>}0($ do ${{e}^{x}}{>}0\forall x\in \mathbb{R})\Leftrightarrow 1-x{>}0\Leftrightarrow x{<}1$

Câu 71: (ID: 253478 )

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;2 \right]$. và thoả mãn $\int _{0}^{2}f\left( x \right)dx=7$. Tính giá trị $I=\int _{2}^{0}\left( f\left( x \right)-x \right)dx$.

A. 5

B. -5

C. $-3$

D. 3

Lời giải: của GV VEAgroup

Sử dụng tính chất của tích phân: $\int _{a}^{b}f\left( x \right)dx=-\int _{b}^{a}f\left( x \right)dx$ và tích phân một hiệu.

Lời giải của GV VEAgroup

$I=\int _{2}^{0}f\left( x \right)dx-\int _{2}^{0}xdx=-\int _{0}^{2}f\left( x \right)dx-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}|_{2}^{0}=-7-\left( 0-\dfrac{{{2}^{2}}}{2} \right)=-5$

Câu 72: (ID: 253479 )

Xét hàm số $y=f\left( x \right)$ có ${f}'\left( x \right)=3x\left( x-2 \right)$ và đồ thị $\left( C \right)$ của nó đi qua gốc toạ độ. Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi ( $C$ ) và trục hoành.

A. 0.

B. $\dfrac{-27}{4}$.

C. 4.

D. $\dfrac{27}{4}$.

Lời giải: của GV VEAgroup

Tìm hàm số $f\left( x \right)$ bằng cách tính nguyên hàm của ${f}'\left( x \right)$

Tìm các giao điểm với trục hoành và tính diện tích $S=\int _{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}f\left( x \right)dx$.

Giải

$f\left( x \right)=\int \left( 3{{x}^{2}}-6x \right)dx={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+C$ Đồ thị đi qua $\left( 0,0 \right)$ nên $C=0\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$

Hoành độ giao điểm với trục hoành: ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow [\begin{array}{*{35}{l}}

x=0 \\

x=3 \\

\end{array}$

Diện tích $S=\int _{0}^{3}\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right|dx=\int _{0}^{3}\left( 3{{x}^{2}}-{{x}^{3}} \right)dx=\dfrac{27}{4}$.

Nhóm 1: (ID: 253482 ) Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu 73 - 74

Để sản xuất mỗi cái bánh loại A cần 200 g bột và 25 g thịt, để sản xuất mỗi bánh loại B cần 100 g bột và 50 g thịt. Số nguyên liệu có sẵn gồm 5 kg bột và 1 kg thịt.

Câu 73:

Gọi x là số bánh loại A và y là số bánh loại B hệ bất phương trình biểu diễn các ràng buộc nguyên liệu là:

A. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

200x+100y\le 5000 \\

25x+50y\le 1000 \\

x,y\ge 0 \\

\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

200x+100y\le 1000 \\

25x+50y\le 5000 \\

x,y\ge 0 \\

\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

200x+25y\le 5000 \\

100x+50y\le 1000 \\

x,y\ge 0 \\

\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

200x+25y\le 1000 \\

100x+50y\le 5000 \\

x,y\ge 0 \\

\end{array} \right.$

Đáp án: A

Lời giải: của GV VEAgroup

Dựa vào các dữ kiện đề bài, lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải

Có x là số bánh loại A và y là số bánh loại $\text{B},x,y\ge 0$

Để sản xuất mỗi cái bánh loại A cần 200 g bột, bánh loại B cần 100 g bột, số bột có sã̃n là $5kg=5000g$ nên ta có $200x+100y\le 5000$

Để sản xuất mỗi bánh loại A cần 25 g thịt, bánh loại B cần 50 g thịt, số thịt có sẵn là $1kg=1000g$ nên ta có $25x+50y\le 1000$

Hệ bất phương trình biểu diễn các ràng buộc nguyên liệu là: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

200x+100y\le 5000 \\

25x+50y\le 1000 \\

x,y\ge 0 \\

\end{array} \right.$

Câu 74:

Giả sử lợi nhuận thu được từ mỗi chiếc bánh loại A là 10 nghìn đồng và từ loại B là 15 nghìn đồng. Lợi nhuận tối đa (nghìn đồng) có thể thu được là:

A. 250

B. 300

C. 350

D. 400

Lời giải: của GV VEAgroup

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình vừa xác định.

Lợi nhuận tối đa đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác miền nghiệm.

Giải

Lợi nhuận thu được: $F\left( x;y \right)=10x+15y$ (nghìn đồng)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

200x+100y\le 5000 \\

25x+50y\le 1000 \\

x,y\ge 0 \\

\end{array} \right.$ là tứ giác $ABCD$ với $A\left( 0;0 \right),B\left( 25;0 \right),C\left( 20;10 \right),D\left( 0;20 \right)$.

Ta có $F\left( 0;0 \right)=0,F\left( 25;0 \right)=250,F\left( 20;10 \right)=350,F\left( 0;20 \right)=300$ Vậy lợi nhuận tối đa có thể thu được là 350 nghìn đồng.

Nhóm 2: Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu 75 - 76

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi: $\{\begin{array}{*{35}{l}}

{{u}_{1}}+{{u}_{5}}=12 \\

{{u}_{2}}+{{u}_{6}}=16 \\

\end{array}$

Câu 75:

Công sai d của cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ là:

A. $d=1$

B. $d=2$

C. $d=3$

D. $d=4$

Lời giải: của GV VEAgroup

Công thức số hạng tổng quát ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$

Giải

Ta có $\{\begin{array}{*{35}{l}}

{{u}_{1}}+{{u}_{5}}=12 \\

{{u}_{2}}+{{u}_{6}}=16 \\

\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{*{35}{l}}

{{u}_{1}}+{{u}_{1}}+4d=12 \\

{{u}_{1}}+d+{{u}_{1}}+5d=16 \\

\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{*{35}{l}}

2{{u}_{1}}+4d=12 \\

2{{u}_{1}}+6d=16 \\

\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{*{35}{l}}

{{u}_{1}}=2 \\

d=2 \\

\end{array}$

Câu 76:

Tính giá trị giới hạn $\text{li}{{\text{m}}_{n\to \infty }}\dfrac{5{{u}_{n}}-3}{n+2}$.

A. $x+6y+4z-2=0$

B. 5

C. 10

D. $+\infty$

Lời giải: của GV VEAgroup

Thiết lập công thức số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ theo biến n.

Tính giới hạn của dãy số bằng phương pháp chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của $n$

Giải

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:

${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d=2+\left( n-1 \right)\cdot 2=2n$ Thay ${{u}_{n}}=2n$ vào biểu thức giới hạn:

$\text{li}{{\text{m}}_{n\to \infty }}\dfrac{5{{u}_{n}}-3}{n+2}=\text{li}{{\text{m}}_{n\to \infty }}\dfrac{5.2n-3}{n+2}=\text{li}{{\text{m}}_{n\to \infty }}\dfrac{10n-3}{n+2}=\text{li}{{\text{m}}_{n\to \infty }}\dfrac{10-\dfrac{3}{n}}{1+\dfrac{2}{n}}=10$.

Nhóm 3: Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu 77 - 78

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( 2;2;-3 \right)$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):2x+y-2z=0$, $\left( Q \right):2x-y+z=0$.

Câu 77:

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng:

A. 3.

B. 4.

C. 2.

D. 6.

Lời giải: của GV VEAgroup

Công thức tính khoảng cách từ điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng

$\left( \alpha \right):Ax+By+Cz+D=0:d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$.

Giải

Khoảng cách từ điểm $A\left( 2;2;-3 \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):2x+y-2z=0$ :

$d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2\cdot 2+1\cdot 2-2\cdot \left( -3 \right) \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\dfrac{12}{\sqrt{9}}=4$

Câu 78: Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có phương trình:

A. $x+6y+4z-2=0$

B. $x-6y-4z-2=0$

C. $x-6y+4z+22=0$

D. $x+6y-4z-26=0$

Đáp án: A

Lời giải: của GV VEAgroup

Xác định vectơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng $\overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}}$.

Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=k.\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$.

Giải

Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ lần lượt là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 2;1;-2 \right),\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 2;-1;1 \right)$ -

Mặt phẳng cần tìm vuông góc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên có một vectơ pháp tuyến là:

$\vec{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( -1;-6;-4 \right)$.

Phương trình mặt phẳng cần tìm

$-\left( x-2 \right)-6\left( y-2 \right)-4\left( z+3 \right)=0\Leftrightarrow x+6y+4z-2=0$.

(ID: 253504 ) Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu 79 - 81

Nhóm 4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+m$.

Câu 79: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+m$. Với $m=1$, giá trị lớn của hàm số trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$ là:

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Lời giải: của GV VEAgroup

Thay $m=1$, tính đạo hàm, tìm GTLN của hàm số trên đoạn.

Giải

Với $m=1$, ta có $y={{x}^{3}}-3x+1$

${y}'=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow [\begin{array}{*{35}{l}}

x=-1\left( tm \right) \\

x=1\left( tm \right) \\

\end{array}$ Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$, ta có

$y\left( -2 \right)=-1;y\left( 2 \right)=3;y\left( -1 \right)=3;y\left( 1 \right)=-1$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$ là 3.

Câu 80:

Tất cả giá trị của $m$ để hàm số nghịch biến trên tập xác định là:

A. $m\in \left[ -1;3 \right]$

B. $m=1$

C. $m\in \left[ -\dfrac{1}{2};4 \right]$

D. $m\in \varnothing$

Lời giải: của GV VEAgroup

Hàm số nghịch biến trên $D$ khi và chỉ khi hàm số đó liên tục trên $D$ và đạo hàm của nó bé hơn bằng 0, với mọi $x$ thuộc $D$.

Giải

Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3x+m$.

ТХĐ: $D=\mathbb{R}$.

Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-3$.

${y}'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow [\begin{array}{*{35}{l}}

x=1\left( tm \right) \\

x=-1\left( tm \right) \\

\end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận: không tồn tại giá trị của $m$ để hàm số nghịch biến trên tập xác định.

(ID: 253504 ) Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu 79 - 81

Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+m$.

Câu 81:

Tính tổng tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình $-{{x}^{3}}+3x=m$ có 3 nghiệm thực phân biệt.

A. -1

B. 2

C. 1

D. 0

Lời giải: của GV VEAgroup

Cô lập $m$ rồi dùng sự tương giao đồ thị.

Giải

Ta có $-{{x}^{3}}+3x=m\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x=-m$.

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$. Theo câu $80,f\left( x \right)$ có BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận: phương trình $-{{x}^{3}}+3x=m$ có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $-2{<}-m{<}2\Leftrightarrow -2{<}m{<}2$. Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -1;0;1 \right\}$. Do đó tổng tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán là ( -1 ) $+0+1=0$.

Nhóm 5: Một nhà máy có hai lô hàng cần kiểm tra. Lô A có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm lỗi. Lô B có 15 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi.

Câu 82:

Từ lô hàng $A$ chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm, xác suất để người đó lấy được 2 sản phẩm tốt là:

A. $\dfrac{7}{15}$.

B. $\dfrac{1}{5}$.

C. $\dfrac{7}{30}$.

D. $\dfrac{11}{90}$.

Đáp án: A

Lời giải: của GV VEAgroup

Sử dụng tổ hợp để tính số cách lấy 2 sản phẩn tốt từ đó suy ra xác suất

Giải

Xác suất để người đó lấy được 2 sản phẩm tốt là $P=\dfrac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}}=\dfrac{7}{15}$

Câu 83:

Chọn ngẫu nhiên một lô hàng, rồi từ lô hàng đó chọn ra 2 sản phẩm. Xác suất để lấy được 2 sản phẩm tốt là:

A. $\dfrac{94}{105}$.

B. $\dfrac{23}{94}$.

C. $\dfrac{47}{105}$.

D. $\dfrac{49}{94}$.

Lời giải: của GV VEAgroup

Gọi $E$ là biến cố chọn lô hàng $A$

F là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt

Tính $P\left( F \right)=P\left( E \right)P\left( F\mid E \right)+P\left( \overline{E} \right)\cdot P\left( F\mid \overline{E} \right)$

Giải

Gọi $E$ là biến cố chọn lô hàng $A$

F là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt

Theo bài ta có $P\left( F\mid E \right)=\dfrac{7}{15};P\left( F\mid \overline{E} \right)=\dfrac{C_{10}^{2}}{C_{15}^{2}}=\dfrac{3}{7}$ và $P\left( E \right)=P\left( \overline{E} \right)=\dfrac{1}{2}$

Khi đó xác suất để lấy được 2 sản phẩm tốt là

$P\left( F \right)=P\left( E \right)P\left( F\mid E \right)+P\left( \overline{E} \right)\cdot P\left( F\mid \overline{E} \right)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{7}{15}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{47}{105}$ (ID: 253508 )

Câu 84:

Chọn ngẫu nhiên một lô hàng, rồi từ lô hàng đó chọn ra 1 sản phẩm. Biết sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi. Xác suất để lô được chọn là lô B là:

A. $\dfrac{9}{19}$.

B. $\dfrac{10}{19}$.

C. $\dfrac{1}{2}$.

D. $\dfrac{3}{5}$.

Lời giải: của GV VEAgroup

Gọi M là biến cố chọn lô hàng A

N là biến cố chọn được 1 sản phẩm lỗi

Tính $P\left( N \right)=P\left( M \right)P\left( N\mid M \right)+P\left( \overline{M} \right)\cdot P\left( N\mid \overline{M} \right)$

Và $P\left( \overline{M}\mid N \right)=\dfrac{P\left( \overline{M}N \right)}{P\left( N \right)}=\dfrac{P\left( \overline{M} \right)\cdot P\left( N\mid \overline{M} \right)}{P\left( N \right)}$

Giải

Gọi $M$ là biến cố "Lô được chọn là lô B". Gọi $N$ là biến cố "Sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi".

Ta có $P\left( M \right)=\dfrac{1}{2};P\left( \overline{M} \right)=\dfrac{1}{2};P\left( N\mid M \right)=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3};P\left( N\mid \overline{M} \right)=\dfrac{3}{10}$.

Vậy $P\left( M\mid N \right)=\dfrac{P\left( M \right)P\left( N\mid M \right)}{P\left( M \right)P\left( N\mid M \right)+P\left( \overline{M} \right)P\left( N\mid \overline{M} \right)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{10}}=\dfrac{10}{19}$.

Nhóm 6: (ID: 253512 ) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh lần lượt là $A\left( -5;1 \right),B\left( 1;5 \right),C\left( 7;-3 \right)$.

Câu 85:

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khoảng cách $OG$ là:

A. $\sqrt{2}$.

B. $\sqrt{3}$.

C. 1

D. 2

Đáp án: A

Lời giải: của GV VEAgroup

Trọng tâm G: $G\left( \dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right)$.

Vectơ: $\overrightarrow{GA}=\left( {{x}_{A}}-{{x}_{G}};{{y}_{A}}-{{y}_{G}};{{z}_{A}}-{{z}_{G}} \right)$.

Độ dài: $\left| \overrightarrow{GA} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$.

Giải

$A\left( -5;1 \right),B\left( 1;5 \right),C\left( 7;-3 \right)$ nên $G\left( \dfrac{-5+1+7}{3};\dfrac{1+5-3}{3} \right)=\left( 1;1 \right)$

$\Rightarrow OG=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2}$ (ID: 253512 )

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh lần lượt là $A\left( -5;1 \right),B\left( 1;5 \right),C\left( 7;-3 \right)$.

Câu 86:

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AC$. Gọi $N$ là điểm sao cho $BMCN$ là hình bình hành. Tổng hoành độ và tung độ của $N$ bằng:

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

Lời giải: của GV VEAgroup

Xác định tọa độ trung điểm rồi dùng điều kiện bằng nhau của hai vectơ.

Giải

$M$ là trung điểm cạnh $AC$ nên $M\left( 1;-1 \right)$.

Ta có $\overrightarrow{MC}=\left( 6;-2 \right)$. Gọi $N\left( {{x}_{N}};{{y}_{N}} \right)$, khi đó $\overrightarrow{BN}=\left( {{x}_{N}}-1;{{y}_{N}}-5 \right)$.

$BMCN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BN}\Leftrightarrow \{\begin{array}{*{35}{l}}

{{x}_{N}}-1=6 \\

{{y}_{N}}-5=-2 \\

\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{*{35}{l}}

{{x}_{N}}=7 \\

{{y}_{N}}=3 \\

\end{array}$

Vậy tổng hoành độ và tung độ của $N$ bằng $7+3=10$.

Câu 87:

Gọi $D$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho đường tròn đường kính $DB$ tiếp xúc trục tung. Hiệu hoành độ và tung độ của $D$ là:

A. 2

B. 2,5.

C. 3

D. 3,5.

Đáp án: C

Lời giải: của GV VEAgroup

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I$, bán kính $R$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta\Leftrightarrow d\left( I,\Delta \right)=R$.

Giải

Gọi $D\left( {{x}_{D}};{{y}_{D}} \right)$. Ta có $\overrightarrow{BD}=\left( {{x}_{D}}-1;{{y}_{D}}-5 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 6;-8 \right)$.

Vì $D$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ nên $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

Do đó $\dfrac{{{x}_{D}}-1}{6}=\dfrac{{{y}_{D}}-5}{-8}{>}0$. Đặt $\dfrac{{{x}_{D}}-1}{6}=\dfrac{{{y}_{D}}-5}{-8}=t{>}0\Rightarrow \{\begin{array}{*{35}{l}}

{{x}_{D}}=6t+1 \\

{{y}_{D}}=-8t+5 \\

\end{array}$

Lại có tọa độ trung điểm $I$ của $DB$ là $I\left( \dfrac{{{x}_{D}}+1}{2};\dfrac{{{y}_{D}}+5}{2} \right)$.

Khoảng cách từ $I$ đến trục tung là $d\left( I,Oy \right)=\left| \dfrac{{{x}_{D}}+1}{2} \right|=\left| \dfrac{6t+1+1}{2} \right|=\left| 3t+1 \right|$.

Bán kính đường tròn đường kính $DB$ là

$R=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{x}_{D}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{D}}-5 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{(6t)}^{2}}+{{(8t)}^{2}}}=5t$.

Vì đường tròn đường kính $DB$ tiếp xúc trục tung nên $d\left( I,Oy \right)=R$.

$\Leftrightarrow \left| 3t+1 \right|=5t\Rightarrow 9{{t}^{2}}+6t+1=25{{t}^{2}}\Leftrightarrow 16{{t}^{2}}-6t-1=0\Leftrightarrow [\begin{array}{*{35}{l}}

t=\dfrac{1}{2}\left( N \right) \\

t=\dfrac{-1}{8}\left( L \right) \\

\end{array}$ Suy ra $\{\begin{array}{*{35}{l}}

{{x}_{D}}=6t+1=6\cdot \dfrac{1}{2}+1=4 \\

{{y}_{D}}=-8t+5=-8\cdot \dfrac{1}{2}+5=1 \\

\end{array}$

Vậy hiệu hoành độ và tung độ của $D$ là $4-1=3$

Nhóm 7: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc x . của $S$ lên mặt đáy x . là trung điểm của $AB$. Biết $SH=a$.

Câu 88:

Thể tích hình chóp $S.BHD$ là:

A. $\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}$.

B. $\dfrac{1}{12}{{a}^{3}}$.

C. $\dfrac{\sqrt{2}}{12}{{a}^{3}}$.

D. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}}$.

Lời giải: của GV VEAgroup

${{V}_{S.BHD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{BHD}}$

Giải

Ta có ${{S}_{BHD}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{DAB}}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$

${{V}_{S.BHD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{BHD}}=\dfrac{1}{3}.a\cdot \dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ lên mặt đáy $\left( ABCD \right)$ là trung điểm của $AB$. Biết $SH=a$.

Câu 89:

Chu vi tam giác $SBD$ là:

A. $\dfrac{2\sqrt{2}+3+\sqrt{5}}{2}a$.

B. $\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}a$.

C. $\dfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{2}a$.

D. $\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+5}{2}a$.

Đáp án: A

Lời giải: của GV VEAgroup

Chu vi tam giác $SBD$ là $BD+SB+SD$

Giải

Ta có $BD=a\sqrt{2};SB=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}a}{2}$

$H{{D}^{2}}=A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}={{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}=\dfrac{5}{4}{{a}^{2}}$ Khi đó $SD=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{5}{4}{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2}a$

Vậy chu vi của $\vartriangle SHD$ là $\dfrac{\sqrt{5}}{2}a+a\sqrt{2}+\dfrac{3}{2}a=\dfrac{\sqrt{5}+2\sqrt{2}+3}{2}.a$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ lên mặt đáy $\left( ABCD \right)$ là trung điểm của $AB$. Biết $SH=a$.

Câu 90:

Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng ( $SBD$ ) xấp xỉ:

A. $0,5a$.

B. $0,66a$.

C. $0,33a$.

D. $0,25a$.

Lời giải: của GV VEAgroup